babbidi

nu ar trebui data si ora la care ajung de obicei acasa? Sau macar vitezele celor 2?

emhirsu

copilul a mers 3 km pe jos, cu o viteza de 6 km\h.  Cum am ajuns la solutia asta nu vreau sa va spun, tin doar pt mine.

wmutex

Ok, sa vedem cum transformam problema in ecuatii.

1. Pentru intorsul acasa obisnuit notez:

V = viteza masinii, constanta (km/h);
D = distanta intre scoala si casa (km);
T = timpul in care mama si copilul se intorc (impreuna) cu masina (h);

cu relatia evidenta:

   V = D/T


2. Pentru situatia in care copilul merge o bucata de drum pe jos notam:

v = viteza copilului, constanta (km/h);
d = distanta parcursa de copil pe jos (km);
t1 = timpul petrecut de copil in plimbare (h);
t2 = timpul petrecut de copil in masina (h);

cu relatiile (iarasi evidente):

   v = d/t1
   V = (D - d)/t2


3. Relatia intre cei 3 timpi, conform problemei:

   t1 + t2 = T + 1/2 (h)


4. Avem un sistem de 4 ecuatii cu 7 necunoscute:

   V = D/T
   v = d/t1
   V = (D - d)/t2
   t1 + t2 = T + 1/2

din care trebuie obtinut t1. Sistemul este nedeterminat, si nu se poate obtine nicio valoare numerica, nu e numai cazul necunoscutei t1. Sa vedem ce se intampla daca se considera viteza masinii ca fiind limita legala, iar viteza copilului egala cu viteza de deplasare normala a unui om:

   V = 50 (km/h)
   v = 5 (km/h)

Sistemul se rescrie atunci:

   50 = D/T
   5 = d/t1
   50 = (D - d)/t2
   t1 + t2 = T + 1/2.


(continua mai jos)

wmutex

Dupa ce sistemul se rescrie:

   D = 50T
   d = 5t1
   50 = (D - d)/t2
   t1 + t2 = T + 1/2
   
se pot elimina deja distantele D si d, rezultand sistemul:

   50t2 = 50T - 5t1
   t1 + t2 = T + 1/2

adica:

   5t1 - 50(T - t2) = 0
   t1 - (T - t2) = 1/2
   
Acesta este un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute (t1 si T - t2), cu solutiile:

   t1 = 5/9 (h)
   T - t2 = 1/18 (h)

Deci copilul a mers t1 = 33 minute si 20 de secunde, la vitezele luate in calcul.

wmutex

(continuare de mai sus)

5. Formula generala (dependenta de viteze) rezulta din eliminarea distantelor in sistemul original si pastrand vitezele drept parametri (nu necunoscute):

   D = VT
   d = vt1
   V = (D - d)/t2
   t1 + t2 = T + 1/2

=>

   D = VT
   d = vt1
   V = (VT - vt1)/t2
   t1 + t2 = T + 1/2

=>

   vt1 - V(T - t2) = 0
   t1 - (T - t2) = 1/2

Si de asta data necunoscutele sunt t1 si T - t2, cu solutiile:

   t1 = V/[2(V - v)]
   T - t2 = v/[2(V - v)]


6. E posibil ca, si de data asta, sa se spuna ca rezolvarea mea e nashpa, si ca exsita o solutie de scoala generala sau, mai rau, de gradinita. :-) Singura mea scuza consta in raspunsul al intrebarea: daca cineva are o bricheta, isi mai aprinde el tigara cu iasca si amnar?

Ditzu

dupa o ora de chin raspunsul e 45 de minute...
nu merge sa te complici cu ecuatii...nu are rost...
notam distanta parcursa de copil cu X si distanta dintre casa si scoala cu D
stim ca se ajunge cu 30 de minute mai devreme...deci mama ar parcurge distanta parcursa de copil de cand a plecat de la scoala ...2X in 30 de minute.. deci de la punctul unde ajunsese copilul pana la scoala ar parcurge in 15 minute...si tinand cont ca ea ar fi trebuit sa ajunga la 13 :00 si ajung in punctul x cu 15 minute mai devreme => ajunge la 12:45 deci copilul a mers 45 de minute..

wmutex

Ok, ca sa fie si mai clar (fiindca se pare ca am nimerit intr-o gasca de equation-haters :D) atasez imaginea cu descrierea grafica a problemei. Cu linie groasa neagra e graficul traseului obisnuit (linia punctata e traseul mamei pana la venire). Cu linie groasa rosie e traseul copilului in ziua "neobisnuita."

Cu multumiri adresate lui gabyteodor, trebuie adaugata inca o ecuatie, care specifica momentul de plecare al mamei astfel incat sa ajunga la ora 13 (cu o ora dupa ora 12, cand a plecat copilul de la scoala):

   t2 = t1 - (1 - T)

la cele deja scrise:

   V = D/T                        (nefolosita)
   v = d/t1                       (nefolosita)
   V = (D - d)/t2              (nefolosita)
   t1 + t2 = T + 1/2

Luand doar prima si ultima ecuatie (restul sunt nefolositoare) rezulta:

   t1 + (T - t2) = 1
   t1 - (T - t2) = 1/2

sistem in necunoscutele t1 si T - t2, cu solutiile:

   t1 = 3/4 (h)
   T - t2 = 1/4 (h)