wmutex

Pt. prima intrebare
Pornesc de la ipoteza ca doua dreptunghiuri cu laturile paralele se contorizeaza ca fiind diferite daca:
a) coltul din stanga-jos nu coincide;
sau
b) dimensiunile laturilor "verticale" si "orizontale" difera (macar una dintre ele)
("Vertical" si "orizontal" sunt intre ghilimele pentru ca, in mod normal, sunt definite in raport cu campul gravitational --- care nu are treaba in geometrie --- dar fie-mi iertat abuzul de limbaj.)

Pe o tabla n x n sunt (n-1)^2 posibile colturi stanga-jos ale dreptunghiurilor. Daca se considera coltul stanga-jos al intregii table ca avand coordonatele (0, 0) atunci dreptunghiurile formate au coltul stanga-jos in coordonatele (a, b) unde

0 <= a < n
0 <= b < n

Numarul de dreptunghiuri (inclusiv patrate) care se pot forma pe tabla din coltul stanga-jos de coordonate (a, b) este:

N(a, b) = (n-a)*(n-b)

dat fiind ca lungimile posibile ale laturilor merg de la 1 la n-a pe "orizontala" si de la 1 la n-b pe "verticala". Luand in considerare toate combinatiile posibile de valori ale perechii (a, b) rezulta ca numarul total al dreptunghiurilor posibile pe tabla este:

ND(n, n) =
=  suma[a=0..n-1] { suma[b=0..n-1] { N(a, b) } } =
= suma[a=0..n-1] { suma[b=0..n-1] { (n-a)*(n-b) } } =
= suma[a=0..n-1] { n-a } * suma[b=0..n-1] { n-b } =
= (n^2 - n*(n-1)/2) * (n^2 - n*(n-1)/2) =
= (n*(n+1)/2)^2

Pentru o tabla 2x2, de exemplu, sunt in total 9 dreptunghiuri (in cazul in care se contorizeaza si patratele ca fiind dreptunghiuri -- sper sa nu protesteze nimeni la aceasta pseudoconfuzie :D).

wmutex

Pt. a doua intrebare

Prin analogie cu solutia de la prima intrebare, doua patrate cu laturile paralele se considera ca fiind diferite (si se numara separat) daca:

a) coltul din stanga-jos nu coincide;

sau

b) dimensiunile laturilor difera

Pe o tabla n x m (n fiind numarul de coloane al tablei, si m fiind numarul de linii) sunt (n-1)*(m-1) posibile colturi stanga-jos ale patratelor. Daca se considera coltul stanga-jos al intregii table ca avand coordonatele (0, 0) atunci patratele au coltul stanga-jos in coordonatele (a, b) unde

0 <= a < n
0 <= b < m

Numarul de patrate care se pot forma pe tabla din coltul stanga-jos de coordonate (a, b) este:

P(a, b) = min {n-a, m-b}

unde

min {n-a, m-b} = n-a daca b <  m-n+a
min {n-a, m-b} = m-b daca b >= m-n+a

dat fiind ca lungimile posibile ale laturilor merg de la 1 la n-a pe orizontala respectiv de la 1 la m-b pe verticala, cele doua trebuind sa fie egale si sa nu depaseasca marginile tablei. Luand in considerare toate combinatiile posibile de valori ale lui a si b rezulta ca numarul total al patratelor posibile pe tabla este:

NP(n, m) =
= suma[a=0..n-1] { suma[b=0..m-1] { P(a, b) } } =
= suma[a=0..n-1] { suma[b=0..m-1] { min {n-a, m-b} } }

Sper sa visez rezolvarea la suma asta maine. Sau, daca exista voluntari... :-)

gabyteodor

Sunt 1296, sunt 64 de tipuri de dreptunghiuri, 1x1, 1x2, 1x3 ... 1x8, 2x1, 2x2 2x3 ... 8x8. Numarul de triunghiuri de forma axb este  (9-a)*(9-b).  deci 64 de 1x1, 56 de 1x2, etc.. in total adunandu-le se obtine 1296

gabyteodor

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+a%3D1+to+8%2C+b%3D1+to+8+%289-a%29%289-b%29