maura1981

Nu se schimba nimic daca r=1. Consider ca masura lui BOC este 2a, a lui DOE 2b, a lui AOF 2c. Atunci OM=cos(a), ON=cos(b) si OP=cos(c). De asemenea, masura lui MON este a+b+pi/3, a lui NOP este b+c+pi/3 si a lui POM este c+a+pi/3. Folosind teorema generalizata a lui Pitagora, |MN|^2=|MO|^2+|NO|^2-2|MO||NO|cos(MON)=cos^2(a)+cos^2(b)-2cos(a)cos(b)cos(a+b+pi/3). Analog, |NP|^2=cos^2(b)+cos^2(c)-2cos(b)cos(c)cos(b+c+pi/3) si |PM|^2=cos^2(a)+cos^2(c)-2cos(a)cos(c)cos(a+c+pi/3). De asemenea, a+b+c=pi/2. |MN|=|NP| este echivalent cu |MN|^2-|NP|^2=0 sau cu cos^2(a)-cos^2(c)-2cos(b)[cos(a)cos(5pi/6-c)-cos(c)cos(5pi/6-a)]=0 sau cu cos^2(a)-cos^2(c)-2cos(b)sin(5pi/6)sin(c-a)=0 (*) si deoarece sin(5pi/6)=sin(pi/6)=1/2 si cos^2(a)-cos^2(c)=sin(c+a)sin(c-a)=cos(b)sin(c-a), obtinem ca identitatea (*) este adevarata si deci |MN|=|NP|. Analog, |NP|=|PM| si ca atare triunghiul MNP este echilateral.