pustiul

1^2 - 2^2 - 3^2 - .... - 2011^2

cristiqq

Pentru cei ce vor sa faca bani din cateva click-uri pe zi accesati adresa http://www.33bux.com/?ref=aaabbbccc202

wmutex

\\begin{carcoteala}

Hmm... autorul problemei a uitat sa posteze demonstratia ca, intr-adevar, 4 este cel mai mic numar ce poate fi obtinut dintr-o serie aleator alternanta de patrate consecutive de la 1 la 2011. Doar pentru ca 4 este, intr-adevar, mic, nu inseamna ca este "cel mai mic." In plus, s-a incalcat si regula insertiei de semne "intre" si nu "in fata."  :-)

\\end{carcoteala}


Solutia este 0. Intr-adevar, se poate gasi o "insemnare" a sirului de patrate astfel incat suma sa dea zero. Un exemplu (cel gasit prin metoda pe care o s-o prezint oleaca mai tarziu) este aici.

In caz ca link-ul nu functioneaza, se "insemneaza" suma astfel:

1² + 2² + ... + 6² -
- 7² +
+ 8² + 9² + ... + 11² -
- 12² - 13² - ... - 34² +
+ 35² + 36² + ... + 195² -
- 196² - 197² - ... - 1597² +
+ 1598² + 1599² + ... +2011² = 0

wmutex

Ok, acum metoda de care povesteam, pe pasi:

(Pasul -1) Pentru ca mi-e lene sa scriu mult in cele ce urmeaza, o sa introduc o notatie pentru suma patratelor de la m la n inclusiv:

$m;n$ = m² + (m+1)² + ... + m², cu m<m

wmutex

(continuare de la pasul -1)


(Pasul 0) Problema cere gasirea unui set de semne pentru patratele 1², 2², ... 2011² astfel incat suma lor sa fie minima (insa mai mare decat sau egala cu zero). Dar cat de departe de zero este suma initiala, cu toate semnele pe "+"? Conform identitatilor lui Newton:

1² + 2² + ... + n² = $1;n$ = n(n+1)(2n+1)/6

rezulta ca "aproximatia initiala" este:

S[0] = $1;2011$ = 2011(2011 + 1)(2x2011 + 1)/6 = 2712931506

wmutex

(Pasul 1) S[0] e destul de departe de "minim natural"...

Ideea urmatoare e: daca inversez semnul tuturor patratelor nr. de la 1 la a[1] astfel incat sa "anihileze" patratele ramase cu semn plus pana la 2011, cam cat ar trebui sa fie a[1]? Inversarea semnelor inseamna sa scad de doua ori din "aproximatia initiala" S[0] toate patratele nr. de la 1 la a[1], deci ecuatia pe care ar trebui s-o indeplineasca a[1] este:

- $1;a[1]$ + $a[1]+1;2011$ = 0   ==>
- 2x$1;a[1]$ + S[0] = 0 ==>
2x$1,a[1]$ = S[0]   ==>
a[1](a[1]+1)(a[1]+1/2) = 3S[0]/2

Ecuatia e de ordin 3, pare complicata, dar nu ne intereseaza o solutie exacta (fiindca a[1] trebuie sa fie numar intreg, ceea ce e greu de crezut ca se intampla mai sus), asa ca daca aproximam:

a[1]+1/2 ~= a[1]
a[1]+1 ~= a[1]

rezulta ecuatia simpla:

(a[1])³ ~= 3S[0]/2

cu solutia aproximativa:

a[1] ~= 1596.52

Aleg cea mai apropiata valoare naturala:

a[1] = 1597

iar aproximatia urmatoare pentru suma patratelor este:

S[1] = - $1;a[1]$ + $a[1]+1;2011$ =
      = - 2x$1;a[1]$ + S[0] =
      = - 2x$1;1597$ + 2712931506
      = -2x1597(1597+1)(2x1597+1)/6 + 2712931506 =
      = -4954884

wmutex

(continuare de la pasul 1)


(Pasul 2) Acum suma noastra aproximativa S[1] este prea mica (mai mica decat zero).

Incerc aceeasi idee ca si la pasul 1: daca inversez iarasi semnele tuturor patratelor nr. de la 1 la a[2] astfel incat sa "anihilez" suma negativa S[1], cam cat de mare ar trebui sa fie a[2]? A inversa semnul unui patrat cu semn "-" din S[1] inseamna a aduna de doua ori patratul respectiv la S[1], deci, pentru a "anihila" suma S[1], a[2] trebuie sa indeplineasca conditia:

+ $1;a[2]$ - $a[2]+1;a[1]$ + $a[1]+1;2011$ = 0   ==>

+ 2x$1,a[2]$ + S[1] = 0

Utilizand aceeasi forma aproximativa a ecuatiei ca la pasul 1:

(a[2])³ ~= 3S[1]/2

gasesc solutia aproximativa:

a[2] = 195

si noua suma aproximativa:

S[2] = $1;a[2]$ - $a[2]+1;a[1]$ + $a[1]+1;2011$ =
      = 2x$1;a[2]$ + S[1] =
      = 2x$1;195$ - 4954884
      = 2x195(195+1)(2x195+1)/6 - 4954884 =
      = 26456

(s.a.m.d.)

wmutex

(continuare de la pasul 2)


(Pasul k) Aplicand succesiv aceeasi idee pentru fiecare aproximatie, gasesc ranguri succesive a[k]:

a[k](a[k]+1)(a[k]+1/2) = 3S[k-1]/2

care pot (sau nu :D) fi rezolvate aproximativ:

(a[k])³ ~= |3S[k-1]/2|

pentru care suma aproximatie este:

S[k] = (-1)^k x 2$1;a[k]$ + S[k-1]



Aplicand schema de calcul de mai sus, rezulta:

a[0] = 2011,
S[0] = + $1;2011$ = 2712931506.

a[1] = 1597,
S[1] = - $1;1597$ + $1598;2011$ = -4954884.

a[2] = 195,
S[2] = + $1;195$ - $196;1597$ + $1598;2011$ = 26456.

a[3] = 34,
S[3] = - $1;34$ + $1;195$ - $196;1597$ + $1598;2011$ = -914.

a[4] = 11,
S[4] = + $1;11$ - $12;34$ + $1;195$ - $196;1597$ + $1598;2011$ = 98.

Pentru S[4] deja se vede cu ochiul liber ca 98 poate fi "anihilat" prin scaderea de 2 ori a lui 7² = 49, adinca prin inversarea semnului patratului lui 7:

S = + $1;6$ -7² + $8;11$ - $12;34$ + $1;195$ - $196;1597$ + $1598;2011$ = 0

Deci, cel mai mic numar natural care se poate obtine prin serii alternante aleatoare de patrate de la 1 la 2011 este zero.