catanedelcu

5x +25y + 125z + 625t = 1670   prin impartire la  5 ajungem la x+5y+25z+125t=334. deci t<=2 in N. si facem discutii dupa t.  
 daca t = 0 => x+5y+25z=334. deci x+5(y+5z)=334   si cautam sa-l descompunem pe 334 intr-un nr. divizibil cu 5 plus restu care este x.   sa zicem un x=4 =>5(y+5z)=330 deci y+5z=66 si gandim cam la fel  si luam o solutie  ..sa zicem  y=6 si z=12   deci am gasit o solutie   (x,y,z,t)=(4,6,12,0).
 daca t = 1 => x+5y+25z+125=334 => x+5y+25z=209 adica x+5(y+5z)=209 si rationam tot la fel..gasim usor x=9 y=5 z=7 deci avem  solutia  (x,y,z,t)=(9,5,7,1).
 daca t= 2 cam tot asa da' nu mai scriu...merge o solutie  (x,y,z,t)=(4,1,3,2). s.a.m.d

 Sa postez si toate solutiile ?  :)  ( sunt 719 solutii in N )

25

5x +25y + 125z + 625t = 1670
1670 = 2 x (5 + 25 + 125 + 625) + 110  ... so .. fie a=x-2, b=y-2, c=z-2 & d=t-2

=> 5a+25b+125c+625d = 110 =>
d=0 =>t=2
c=0 => z=2
=> 5a + 25b = 110 .. a+5b=22 ...cu solutiile (x,y)={(4;6),(9;5),(14;4),(19;3),(24,2)}

gabyteodor

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2B5y%2B25z%2B125t%3D334

lucipet

O idee pentru clasele mai ... mici , bazata pe multipli ai numerelor,ar fi urmatoarea :

x + y*5^1 + z*5^2 + t*5^3 = 334 se scrie asa :

   x+5(y+5(z+5t)) = 334 care conduce la :

    334 - x
    ------- - y
       5
    ----------- - z
          5
t =  ---------------
            5

Conditia pentru solutii numere NATURALE, este ca

numaratorii sa fie multiplii pozitivi ai lui 5 :

x={4,9,14,19,24,...,184} (37 valori) =>
1)pentru x(minim) = 4 => y={1,6,11,16,21,26,31,36}

=>1.1) pentru y(minim) = 1=>z={3,8,13} =>
   1.1.1) pentru z(minim)=3 => t={2} si
   1.1.2) pentru z(maxim)=13 =>t={0}
 1.2) pentru y(maxim) =36=>z={1,6}
   1.2.1) pentru z(minim)=1 => t={1},
   1.2.2) pentru z(maxim)=6 =>t={0}
2)pentru x(maxim) = 184 => y={0,5} =>
=>2.1) pentru y(minim) => y={0} =>z={1,6} =>
   2.1.1) pentru z(minim) z=1 =>t={1} si
   2.1.2) pentru z(maxim) z=6 =>t={0},
 2.2) pentru y(maxim) y={5} => z={5} =>t={1}

lucipet

OBSERVATIE:

Daca se face substitutia a=y+2;b=z+2;c=t+2, se obtine ecuatia

      x + 5(a + 5(b + 5c) = 14

care conduce la calcule mai simple in metoda prezentata mai sus.
In acest fel se pot identifica si solutiile din (Z-) , intregii negativi. .

   14 - x
   ------- - a
      5
   ----------- - b
         5
c =  ---------------
             5

lucipet

Referitor la problema cu  impartirea unei  pizza in 3 am postat o imagine la

        http://picpaste.com/pitza_in_3-N1eVcFM4.JPG

A face o taietura din centru pe o raza. B taie de la centru
pe o alta raza o Fix o treime. Deci el e convins de faptul
ca felia galbena are cel putin 1/3 din piza.
C face si el o taietura pe o alta raza. Dar acum apar 2
situatii:
1) C considera ca partea care NU E GALBENA este mai mare
decat 2/3, si
2) C considera ca partea galbena este mai mare decat 1/3.
Analiza situatia 1).
Dca i se pare ca partea care nu e galbena este cel putin
egala cu 2/3, atunc face taietura C, iar el C, are
convingerea ca bucatile rosie si alba au CEL PUTIN 1/3.
Urmeaza alegerea celor 3 bucati.
Primul care 'ATACA' este A si judeca astfel :
Varianta 1.1

Daca lui A i se pare ca B a decupat cu taietura B mai mult
decat 1/3, ia partea galbena. In acest caz B nu are nimic
impotriva cu alegerea lui A pentru  ca el a decupat EXACT
1/3 , iar restul reprezinta cel putin 2/3 si evident ca al
2-lea va alege una din bucatile rosie sau alba ,aceea care i
se pare mai mare.
Celui de al 3-lea ii va ramane bucata alba despre care are
convingerea ca are cel putin 1/3 de vreme ce chiar el a
facut taietura EXACT pe jumatate a bucatii care nu e
galbena.
Varianta 1.2
Intr-un mod asemanator se judeca si situatia in care lui A i
se pare ca ca partea care nu e galbena a fost mai mare ca
2/3. In cazula asta alege un din bucatile rosie sau alba  ,
adica pe aceea care i se pare mai mare, B-ul si C-ul neavand
nicio obiectie din motive similare cu logica de mai sus.
Impartirea in 4,5, etc se reduce la impartirea pizei in 2 si
in 3.

ixirimdi

Problema are multe solutii si permite multe abordari;
sunt interesante toate cele aparute;
eu am propus-o pt ca mi-a placut ideea (care vine de la puterile lui 5)
abordarii ca scriere de la baza 5 la baza 10
tzyx0   = t*5^4 + z*5^3 + .... = 1670
       (5)
apoi trecându-l pe 1670 in baza 5 obtinem
1670:5=334 rest 0
             334:5=66 rest 4
                         66:5=13 rest 1
                                   13:5=2 rest 3 si deci 23140= tzyx0