wmutex

Test de imagine:

[img=/files/uploads/3/3167_0_1.jpg]

catanedelcu

rezolvare ...pozitiile sunt relative   X' față de C'  și  X față de Q


Imagine ataşată

wmutex

Fiindca cablul de la B' la B trece prin punctul fix P, problema de minim a lungimii cabului de la B' la B se descompune in doua probleme de minim: a lungimii cablului de la B' la P, si a lungimii minime a cablului de la P la B

min(B'B) = min(B'P) + min(PB)

Luam o problema generala, pe care o vom aplica pentru cazurile particulare de mai sus: intr-un paralelipiped dreptunghic cu lungimile laturilor a, b, c, ca in figura, se pune problema gasirii lui x astfel incat linia rosie sa aiba lungimea L minima.

In general, dupa cum se vede din aplicarea t. Pitagora in fig. de mai sus:

L(x) = √(a² + x²) + √[b² + (c-x)²]

Pentru L(x) minima derivata ei in raport cu x trebuie sa fie zero:

L'(x) = 0     =>
x / √(a² + x²) - (c-x) / √[b² + (c-x)²] = 0     =>
x / √(a² + x²) = (c-x) / √[b² + (c-x)²].

Dupa manipulari algebrice ale ecuatiei (ridicari al patrat, aduceri la acelasi numitor, simplificari etc.) ecuatia devine:

(a² - b²)x² - 2a²cx + a²c² = 0

cu solutiile:

x1 = ac/(a+b), x2 = ac/(a-b)     daca a≠b

sau

x = c/2=ac/(a+b)     daca a=b

Se observa ca singura solutie ce indeplineste conditia 0<x<c, care da pozitia pentru lungimea minima a liniei rosii, este:

xmin = ac/(a+b)

iar lungimea corespunzatoare este (dupa inlocuire si calcul algebric):

Lmin = √[(a+b)² + c²]

Las pe maine dimineata (si eventual cuiva interesat) continuarea calcului, cu aplicarea rezultatului xmin & Lmin la problema.

wmutex

(continuare, ca nu mi-e somn)

Considerand (in figura din problema) dreptunghiul ABCD ca fiind "cota 0", si folosind rezultatele anterioare xmin si Lmin, avem inaltimile lui X si X':

h = |AQ| - |QX| = (a+b) - a(a+b)/(a+b) = b
h' = |CC'| - |C'X'| = 2a - a(a-b)/(a+b) = a + 2ab/(a+b)

iar lungimea totala este

|B'->B| = |B'->P| + |P->B| = (√2)[√(a²+b²)] +  (√2)(a+b) =  (√2)[a+b+√(a²+b²)]

Pentru a=4 si b=3 rezulta:

h = 3
h' = 52/7
|B'->B| = 12√2

lucipet

Alegeti pozitia punctului P oriunde doriti pe DD' .

Se poate obtine un cost mai economic  pentru cablul electric decat cel calculat in conditiile initiale ale enuntului  ?

Je

Usor, se desfasoara in plan si se traseaza doua linii drepte:D ce vor forma triunghiur dreptunghice, se aplica teorema lu' pitagora... etc...

Fadel

Daca va aduceti aminte de problema de alaltaieri... cea cu paharele si cutitele (practica propusa de Knowing(eu) ) incercati acelasi lucru cu 6 pahare in forma de hexagon si sase cutite( acelasi reguli pahrele sunt la distanta de un cutit iar cutitele trebuie unite astfel incat unpahar sa stea pe ele